Question

在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取PD中點(diǎn)E，連接EM、AE，由已知得四邊形ABME是平行四邊形，由此能證明BM∥平面PAD．
（Ⅱ）由已知PA⊥AB，AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，進(jìn)而AB⊥PD，由此得到PD⊥平面ABME，作MN⊥BE，交AE于點(diǎn)N，則MN⊥平面PBD，從而求出點(diǎn)N為AE的中點(diǎn)．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：如圖，取PD中點(diǎn)E，連接EM、AE，
∴EM

∥

.

1

2

CD，而AB

∥

.

1

2

CD，∴EM∥AB，
∴四邊形ABME是平行四邊形，∴BM∥AE
∵AE?平面ADP，BM?平面ADP，
∴BM∥平面PAD．…（5分）
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，而AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD
∵PA=AD，E是PD的中點(diǎn)，
∴PD⊥AE，AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABME
作MN⊥BE，交AE于點(diǎn)N，則MN⊥平面PBD
由題意知△BME∽△MEN，而BM=AE=

2

，EM=

1

2

CD=1，
由

EN

EM

=

EM

BM

，得EN=

?EM)2

BM

=

1

2

=

2

2

，
∴AN=

2

2

，即點(diǎn)N為AE的中點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)的位置的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的求法．