Question

y=

2

2

(|sinx|+cosx)，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)x的范圍分兩種情況，利用絕對值的代數(shù)意義化簡|sinx|，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍分別求出正弦對應角的范圍，畫出相應的圖象，如圖所示，由題意函數(shù)圖象與直線y=k僅有兩個不同的交點，根據(jù)正弦圖象可得出k的范圍．

解答：解：當x∈[0，π]時，|sinx|=sinx，
所以y=

2

2

（sinx+cosx）=sin（x+

π

4

），
當x∈（π，2π）時，|sinx|=-sinx，
所以y=

2

2

（-sinx+cosx）=sin（

π

4

-x），
根據(jù)解析式畫出分段函數(shù)圖象，如圖所示：
根據(jù)圖象可得k的范圍為-

2

2

＜k＜

2

2

或k=1．
故答案為：-

2

2

＜k＜

2

2

或k=1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，絕對值的代數(shù)意義，以及正弦函數(shù)的圖象，利用了數(shù)形結(jié)合的思想．根據(jù)x的范圍化簡|sinx|，再利用三角函數(shù)的恒等變換得到一個角的正弦函數(shù)，從而確定出分段函數(shù)的解析式，在坐標系中畫出相應的分段函數(shù)圖象是解本題的關鍵．