Question

如圖已知四面體P-ABC中，AB=BC=1，AC=

2

，PA=PC=

3

，PB=2，且PB與平面ABC所成角是

π

4

，E是AB的中點．
（1）求點P在平面ABC內(nèi)的射影到直線AB、AC的距離；
（2）求二面角P-EC-B的大��；
（3）求點B到平面PEC的距離．

Answer 1

分析：（1）首先可計算證得∠PAB=∠PCB=∠ABC=90°，設點P在平面ABC內(nèi)的射影是點O，則OP=BP•sin

π

4

=

2

，根據(jù)PA⊥AB，PC⊥BC，可知OA⊥AB，OC⊥BC，從而OA、OC表示點O到直線AB、AC的距離，故可解；
（2）取BC的中點F，連接OF交CE于點G，正方形ABCO中，可知∠PGF為所求二面角的平面角，故可求二面角的大小；
（3）設OB交CE于點R，則OR=2BR，所以點O到平面PCE的距離等于點B到平面PCE的距離的2倍，過點O作直線OH垂直PG且相交于點H，則OH⊥平面PCE，從而可求點B到平面PEC的距離．

解答：解：（1）由AB=BC=1，AC=

2

，PA=PC=

3

，PB=2
得到：∠PAB=∠PCB=∠ABC=90°
設點P在平面ABC內(nèi)的射影是點O，
則OP=BP•sin

π

4

=

2

，…（2分）
由PA⊥AB，PC⊥BC得到，OA⊥AB，OC⊥BC，
且OA=OC=1，
所以點O到直線AB、AC的距離都是等于1；
（2）取BC的中點F，連接OF交CE于點G，正方形ABCO中，可以證明到OF⊥CE，所以∠PGF為所求二面角的平面角．  …（6分）
∵CG=

OC•CF

OF

=

5

5

⇒OG=

2 5

5

，∴tan∠PGO=

OP

OG

=

2

2 5 5

=

10

2

，
所以所求二面角的大小是π-arctan

10

2

…（8分）
（3）設OB交CE于點R，則OR=2BR，所以點O到平面PCE的距離等于點B到平面PCE的距離的2倍，
過點O作直線OH垂直PG且相交于點H，則OH⊥平面PCE，OH=

OP•OG

PG

=

2 •2 2 5 5

2+ 4 5

=

2 7

7

，
所以點B到平面PEC的距離是

7

7

．…（12分）

點評：本題以四面體為載體，考查點線距離，考查面面角，點面距離，考查學生分析轉(zhuǎn)化問題的能力．