Question

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間．

（1）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．是否存在實(shí)數(shù)a，使g(x)在［a，－a］上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）時(shí)，在上為減函數(shù)．

【解析】

（1）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可判斷單調(diào)區(qū)間。

（2）根據(jù)定義域，討論當(dāng)a取不同范圍時(shí)，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)；通過(guò)不等式恒成立即可求得a的范圍。

（1）．由題意知．

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由區(qū)間知．設(shè)，．

（i）當(dāng)時(shí)，，由題意得在上單調(diào)遞減．

，

設(shè)，

即在區(qū)間上恒成立．

在上單調(diào)遞增，故，解得．

∴．

（ii）當(dāng)時(shí)，，由（1）知在上單調(diào)遞減．

∴在上單調(diào)遞減，即在區(qū)間上恒成立．

由前述可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，

化簡(jiǎn)得，判別式小于0，恒成立．

另一方面，由，解得或．

∴．

綜上，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)．