Question

已知橢圓C：的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，它的一條準線為x=4，過點F₂的直線與橢圓C交于P、Q兩點．當(dāng)PQ與x軸垂直時，．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若，求△PF₁Q的內(nèi)切圓面積最大時正實數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)當(dāng)PQ與x軸垂直時，，可得，從而可得a=2c，利用橢圓的一條準線為x=4，可得，從而可求橢圓C的方程；
（2）分類討論：①當(dāng)PQ與x軸垂直時，由==（其中r為△PF₁Q的內(nèi)切圓半徑），可得λ的值；②當(dāng)PQ與x軸不垂直時，不妨設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-1）代入橢圓方程，利用韋達定理及==，可得結(jié)論．
解答：解：（1）∵當(dāng)PQ與x軸垂直時，
∴
∴，∴a=2c（2分）
∵橢圓的一條準線為x=4
∴
∴c=1，a=2，
故所求橢圓C的方程為．（2分）
（2）由點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），可設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
①當(dāng)PQ與x軸垂直時，根據(jù)（其中r為△PF₁Q的內(nèi)切圓半徑），可得|PQ|•2c=4a•r，∴，此時可知λ=1（2分）
②當(dāng)PQ與x軸不垂直時，不妨設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-1）代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
則（2分）

從而可得=
又點F₁（-1，0）到直線PQ的距離．
依（其中r為△PF₁Q的內(nèi)切圓半徑）
即|PQ|•d=4a•r（2分）
得=
=
可知在區(qū)間（0，+∞）上該函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)k²→+∞時，即直線PQ的斜率不存在時，r最大為，亦即△PF₁Q的內(nèi)切圓面積最大，此時可知λ=1
綜上所求為λ=1．（2分）
點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是求出△PF₁Q的內(nèi)切圓面積，從而確定r最大值．