Question

已知函數(shù)f(x)=ex+2x2—3x

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2) 當(dāng)x ≥1時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)≥ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)求證函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1)上存在唯一的極值點(diǎn)，并用二分法求函數(shù)取得極值時(shí)相應(yīng)x的近似值(誤差不超過0.2)；(參考數(shù)據(jù)e≈2.7，≈1．6，e0.3≈1．3)。

 

Answer 1

（1）(e+1)x-y-2=0

（2）a≤e-1

（3）x≈0.45

【解析】(1)f'(x)=ex+4x-3，則=e+1，

又f(1)=e—1，

∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為

y-e+1=(e+1)(x-1)，即：(e+1)x-y-2=0

(2)由f(x)≥ax，得ax≤ex+2 x2-3x，

∵x≥1 ，∴a≤

令g(x)= ，則g’(x)=

∵x≥1 ，∴g’(x)>0，∴g(x)在[1，+∞）上是增函數(shù)，

∴g(x)min=g(1)=e-1,

∴a的取值范圍是a≤e-1，

（3）∵f'(0)=e0-3=-2<0,f'(1)=e+1>0，   ∴f'(0)·f'(1)<0

令h(x)=f'(x)=ex+4x-3，

則h'(x)=ex+4>0，f'(x)在正[0，1]上單調(diào)遞增，

∴．f'(x)在[0，1]上存在唯一零點(diǎn)，f(x)在[0，1]上存在唯一的極值點(diǎn)．

取區(qū)間[0，1]作為起始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算可知區(qū)間[0.3,0.6]的長(zhǎng)度為0.3,所以該區(qū)間的中點(diǎn)x2=0.45，到區(qū)間端點(diǎn)的距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2一個(gè)極值點(diǎn)的相應(yīng)x的值

∴函數(shù)y=f(x)取得極值時(shí)，相應(yīng)x≈0.45.