Question

8．對于正整數(shù)a，b，存在唯一一對整數(shù)q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b．特別地，當(dāng)r=0時，稱b能整除a，記作b|a，已知A={1，2，3，4，5，…，23}，若M⊆A，且存在a，b∈M，b＜a，b|a，則稱M為集合A的“和諧集”．
（1）存在q∈A，使得2011=91q+r （0≤r＜91），試求q，r的值；
（2）已知集合B={5，7，8，9，11，12，t}滿足B⊆A，但B不為“和諧集”，試寫出所有滿足條件的t值；
（3）已知集合C為集合A的有12個元素的子集，又m∈A，當(dāng)m∈C時，無論C中其它元素取何值，C都為集合A的“和諧集”，試求滿足條件的m的最大值，并簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于2011=91×22+9，可得q，r．
（2）集合B={5，7，8，9，11，12，t}滿足B⊆A，但B不為“和諧集”，經(jīng)過驗證可得：所有滿足條件的t值為：13，17，19，23．
（3）當(dāng)m=8時，記M={7+i|i=1，2，…，16}，N={2（7+i）|i=1，2，3，4}，記P=C_MN，則card（P）=12，顯然對任意1≤i＜j≤16，不存在n≥3，使得7+j=n（7+i）成立．故P是非“和諧集”，此時P={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．同樣的，當(dāng)m=9，10，11，12時，存在含m的集合A的有12個元素的子集為非“和諧集”．因此m≤7．下面再證明：含7的任意集合A的有12個元素的子集為“和諧集”即可．

解答 解：（1）∵2011=91×22+9，∴q=22，r=9．
（2）集合B={5，7，8，9，11，12，t}滿足B⊆A，但B不為“和諧集”，經(jīng)過驗證可得：
所有滿足條件的t值為：13，17，19，23．
（3）當(dāng)m=8時，記M={7+i|i=1，2，…，16}，N={2（7+i）|i=1，2，3，4}記P=C_MN，則card（P）=12，顯然對任意1≤i＜j≤16，不存在n≥3，使得7+j=n（7+i）成立．故P是非“和諧集”，此時P={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．同樣的，當(dāng)m=9，10，11，12時，存在含m的集合A的有12個元素的子集為非“和諧集”．因此m≤7．
下面證明：含7的任意集合A的有12個元素的子集為“和諧集”．
設(shè)B={a₁，a₂，…，a₁₁，7}，若1，14，21中之一為集合B的元素，顯然為“和諧集”．
現(xiàn)考慮1，14，21都不屬于集合B，構(gòu)造集合B₁={2，4，8，16}，B₂={3，6，12}，B₃={5，10，20}，B₄={9，18}，B₅={11，22}，B'={13，15，17，19，23}．
以上B₁，B₂，B₃，B₄，B₅每個集合中的元素都是倍數(shù)關(guān)系．考慮B'⊆B的情況，也即B'中5個元素全都是B的元素，B中剩下6個元素必須從B₁，B₂，B₃，B₄，B₅這5個集合中選取6個元素，那么至少有一個集合有兩個元素被選，即集合B中至少有兩個元素存在倍數(shù)關(guān)系．
綜上所述，含7的任意集合A的有12個元素的子集B為“和諧集”，即m的最大值為7．

點評 本題考查了新定義“和諧集”、分類討論思想方法、數(shù)的整除理論，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．