Question

【題目】已知橢圓C關(guān)于x軸、y軸都對稱，并且經(jīng)過兩點(diǎn)，

（1）求橢圓C的離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）D是橢圓C上到點(diǎn)A最遠(yuǎn)的點(diǎn)，橢圓C在點(diǎn)B處的切線l與y軸交于點(diǎn)E，求△BDE外接圓的圓心坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）離心率，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）

【解析】

（1）根據(jù)已知設(shè)所求橢圓方程為，點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，求解得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)，利用點(diǎn)在橢圓上，將表示為關(guān)于的二次函數(shù)，求出最大時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；顯然橢圓C在點(diǎn)B處的切線l的斜率存在，設(shè)出其方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用，求出切線的斜率，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出△BDE外接圓的一般式方程，即可得出結(jié)論.

（1）已知橢圓C關(guān)于軸、軸都對稱，

設(shè)其方程為

由在橢圓上，得，

聯(lián)立解得，，得橢圓C的方程是.

用依次表示橢圓的長半軸、短半軸、半焦距，

則，，則，，.

所以，橢圓C的離心率，焦點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）設(shè)，則，即，

.

函數(shù)在區(qū)間上遞減，

則取最大時(shí)，，此時(shí)，

所以，橢圓C上到點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是；

設(shè)橢圓C在點(diǎn)處的切線的方程為，

即，與聯(lián)立消去后整理得，

判別式，

由相切條件得，，

所以橢圓C在點(diǎn)處的切線的方程是，

令得，得切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

設(shè)外接圓的方程為，

由三點(diǎn)都在圓上，

得解得

，，

所以外接圓的圓心坐標(biāo)是