Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在點(diǎn)上，過(guò)點(diǎn)做//將的位置（），

使得.

(I)求證：  （II）試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)上移動(dòng)時(shí)，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出定值，若不是，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí)，二面角的平面角的余弦值為定值.

【解析】

試題分析：（1）在中，

又平面PEB.

又平面PEB,

（2）在平面PEB內(nèi)，經(jīng)P點(diǎn)作PDBE于D，由（1）知EF面PEB,

EFPD.PD面BCEF.在面PEB內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BH//PD,則BH面BCFE.以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)PE=x（0＜x＜4）又

在中，

從而   

設(shè)是平面PCF的一個(gè)法向量，由

得取得

是平面PFC的一個(gè)法向量 又平面BCF的一個(gè)法向量為

設(shè)二面角的平面角為，則

因此當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí)，二面角的平面角的余弦值為定值.

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的基本問(wèn)題，空間向量的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)考查直線(xiàn)與直線(xiàn)，直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想等．屬中檔題。