Question

某種樹苗栽種時高度為A（A為常數(shù)）米，栽種n年后的高度記為f（n）．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)f（n）近似地滿足f（n）=

9A

a+btn

，其中t=2-

2

3

，a，b為常數(shù)，n∈N，f（0）=A．已知栽種3年后該樹木的高度為栽種時高度的3倍．
（1）栽種多少年后，該樹木的高度是栽種時高度的8倍；
（2）該樹木在栽種后哪一年的增長高度最大．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用f（0）=A，f（3）=3A，確定函數(shù)解析式，令f（n）=8A，可得結(jié)論；
（2）計算第n年的增長高度，利用基本不等式，可求該樹木在栽種后哪一年的增長高度最大．

解答： 解：（1）由題意知f（0）=A，f（3）=3A．
所以

9A a+b =A 9A a+ 1 4 b =3A

，解得a=1，b=8．                …（4分）
所以f（n）=

9A

1+8×tn

，其中t=2-

2

3

．
令f（n）=8A，得

9A

1+8×tn

=8A，解得tⁿ=

1

64

，
即2-

2

3

=

1

64

，所以n=9．
所以栽種9年后，該樹木的高度是栽種時高度的8倍．  …（6分）
（2）由（1）知f（n）=

9A

1+8×tn

．
第n年的增長高度為△=f（n）-f（n-1）=

9A

1+8×tn

-

9A

1+8tn-1

．  …（9分）
所以△=

72Atn-1(1-t)

1+8tn-1(1+t)+64t2n-1

=

72A(1-t)

1 tn-1 +64tn+8(1+t)

                           …（12分）
≤

72A(1-t)

8(1+ t )2

=

9A(1- t )

1+ t

當(dāng)且僅當(dāng)64tⁿ=

1

tn-1

時取等號，此時n=5．
所以該樹木栽種后第5年的增長高度最大．           …（14分）

點(diǎn)評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查函數(shù)模型的建立，考查基本不等式，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．