已知函數(shù)f(x)=sin
x
3
cos
x
3
+
3
cos2
x
3
；
（1）求f（x）的對稱軸和對稱中心；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f（x）的值域．
分析：將函數(shù)f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸為kπ+
π
2
，對稱中心為（kπ，
3
2
）列出相應(yīng)x的方程，求出方程的解即可得到f（x）的對稱軸及對稱中心；
（2）利用余弦定理表示出cosx，將b2=ac代入并利用基本不等式化簡，求出cosx的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出x的范圍；由x的范圍求出這個角的范圍，得出此時正弦函數(shù)的值域，即可得到f（x）的值域．
解答：解：f（x）=sin
x
3
cos
x
3
+
3
cos2
x
3

=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
（1+cos
2x
3
）
=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
cos
2x
3
+
3
2

=sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2
，
（1）令
2x
3
+
π
3
=kπ+
π
2
，解得：x=
3
2
kπ+
π
4
；
令
2x
3
+
π
3
=kπ，解得：x=
3k-1
2
π，
則f（x）的對稱軸為x=
3
2
kπ+
π
4
，（k∈Z），對稱中心為（
3k-1
2
π，
3
2
）（k∈Z）；
（2）∵b2=ac，
∴cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，
∴
1
2
≤cosx＜1，0＜x≤
π
3
，
∴
π
3
＜
2x
3
+
π
3
≤
5π
9
，
∴
3
2
＜sin（
2x
3
+
π
3
）≤1，即
3
＜sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2
≤1+
3
2
，
綜上，x∈（0，
π
3
），函數(shù)f（x）的值域為（
3
，1+
3
2
]．
點評：此題屬于解三角形題型，涉及的知識有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的對稱性，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，其中利用三角形函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（附加題）
（Ⅰ）設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當(dāng)x∈S時有x2∈S，給出下列四個結(jié)論：
①若m=2，則l=4
②若m=-
1
2
，則
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，則-
2
2
≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，則b的取值范圍為
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a43=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn，
數(shù)列{f（bn）}的前n項和為Tn，求證Tn＜
2009
2010
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面積S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對一個實數(shù)集合M，若存在實數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．

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同步練習(xí)冊答案