Question

已知兩點M（-2，0），N（2，0），動點P（x，y）在y軸上的射影為H，是2和的等比中項．
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，求實軸最長的雙曲線C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）先用坐標表示出向量，進而利用是2和的等比中項，可得，從而求出動點P的軌跡方程；
（II）若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，且Q在右支上，N（2，0）關于直線x+y=1的對稱點為E（1，-1），則|QE|=|QN|，所以雙曲線C的實軸長2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=（當且僅當Q，E．M共線時取“=”），此時，實軸長為2a，最大為；同理若Q在左支上，雙曲線C的實軸長為2a，最大為，從而可求實軸最長的雙曲線C的方程．
解答：解：（I）M（-2，0），N（2，0），設動點P的坐標為（x，y），所以H（0，y），
所以
∴，
∵是2和的等比中項
∴
∴x²=2（x²-4+y²）
∴為所求動點P的軌跡方程；
（II）若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，且Q在右支上，N（2，0）關于直線x+y=1的對稱點為E（1，-1），則|QE|=|QN|
∴雙曲線C的實軸長2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=（當且僅當Q，E．M共線時取“=”），此時，實軸長為2a，最大為
同理若Q在左支上，雙曲線C的實軸長為2a，最大為
∴雙曲線C的實半軸長為
∵
∴
∴實軸最長的雙曲線C的方程為．
點評：本題以向量為載體，考查向量的坐標運算，考查動點的軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，綜合性較強．