Question

在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為，則實數(shù)a的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設直線AB的方程為y=kx+1，（k≠0）．將直線AB方程與橢圓消去y，解得B的坐標，再用兩點之間距離公式，可以算出AB長關于a、k的表達式，同理可得AC長關于a、k的表達式，從而得到Rt△ABC的面積S關于a、k的表達式，根據(jù)基本不等式進行討論，可得△ABC的面積S的最大值為，最后結(jié)合題意解關于a的方程，即可得到實數(shù)a的值．
解答：解：設直線AB的方程為y=kx+1則直線AC的方程可設為y=-x+1，（k≠0）
由消去y，得（1+a²k²）x²+2a²kx=0，所以x=0或x=
∵A的坐標（0，1），
∴B的坐標為（，k•+1），即B（，）
因此，AB==•，
同理可得：AC=•
∴Rt△ABC的面積為S=AB•AC=•=
令t=，得S==
∵t=≥2，∴S_△ABC≤=
當且僅當，即t=時，△ABC的面積S有最大值為=
解之得a=3或a=
∵a=時，t=＜2不符合題意，
∴a=3
故答案為：3
點評：本題在橢圓上求內(nèi)接直角三角形面積的最大值問題，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)和利用基本不等式討論函數(shù)的最值等知識，屬于中檔題．