Question

如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為CD的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若點E是線段BD的中點，求二面角E-AM-D的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出AM⊥BM，BM⊥平面ADM，由此能證明AD⊥BM．
（2）取DM的中點F，則EF∥BM，過F作FH⊥AM，連接EH，由已知條件推導(dǎo)出∠FHE即二面角E-AM-D的平面角，由此能求出二面角E-AM-D的余弦值．

解答： （1）證明：∵AM=BM=

2

，∴AB²=AM²+BM²，即AM⊥BM．
∵平面ADM⊥平面ABCD，∴BM⊥平面ADM，∴AD⊥BM．…（5分）
（2）解：取DM的中點F，則EF∥BM，
由（1）知BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM．
過F作FH⊥AM，連接EH，
則∠FHE即二面角E-AM-D的平面角，
由已知EF=

2

2

，F(xiàn)H=

2

4

，
∴EH=

10

4

，∴cos∠FHE=

FH

EH

=

5

5

．
∴二面角E-AM-D的余弦值是

5

5

．…（13分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．