Question

心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時(shí)間，上課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，并趨于穩(wěn)定．分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，設(shè)提出和講述概念的時(shí)間為x（單位：分），學(xué)生的接受能力為f（x）（f（x）值越大，表示接受能力越強(qiáng)），
f(x)=

-0.1x2+2.6x+44，0＜x≤10 60                     ，10＜x≤15 -3x+105            ，15＜x≤25 30                      ，25＜x≤40

（1）開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少時(shí)間？
（2）試比較開講后5分鐘、20分鐘、35分鐘，學(xué)生的接受能力的大小；
（3）若一個(gè)數(shù)學(xué)難題，需要56的接受能力以及12分鐘時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講述完這個(gè)難題？

Answer 1

分析：（1）求學(xué)生的接受能力最強(qiáng)其實(shí)就是要求分段函數(shù)的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可；
（2）比較5分鐘、20分鐘、35分鐘學(xué)生的接受能力大小，方法是把x=5代入第一段函數(shù)中，而x=20要代入到第三段函數(shù)中，x=35代入第四段函數(shù)，比較大小即可
（3）在每一段上解不等式f（x）≥56，求出滿足條件的x，從而得到接受能力56及以上的時(shí)間，然后與12進(jìn)行比較即可．

解答：解：（1）由題意可知：0＜x≤10
f（x）=-0.1（x-13）²+60.9
所以當(dāng)x=10時(shí)，f（x）的最大值是60，…（2分）
又10＜x≤15，f（x）=60              …（3分）
所以開講后10分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，并能維持5分鐘．…（4分）
（2）由題意可知：f（5）=54.5，f（20）=45，f（35）=30 …（5分）
所以開講后5分鐘、20分鐘、35分鐘的學(xué)生的接受能力從大小依次是
開講后5分鐘、20分鐘、35分鐘的接受能力；…（6分）
（3）由題意可知：
當(dāng)0＜x≤10，f（x）=-0.1（x-13）²+60.9≥56
解得：6≤x≤10                 …（7分）
當(dāng)10＜x≤15時(shí)，f（x）=60＞56，滿足要求； …（8分）
當(dāng)15＜x≤25時(shí)，-3x+105≥56
解得：15＜x≤16

1

3

                …（9分）
因此接受能力56及以上的時(shí)間是10

1

3

分鐘小于12分鐘．
所以老師不能在所需的接受能力和時(shí)間狀態(tài)下講述完這個(gè)難題．…（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，此題學(xué)生容易出錯(cuò)，原因是學(xué)生把分段函數(shù)定義理解不清，自變量取值不同，函數(shù)解析式不同是分段函數(shù)最顯著的特點(diǎn)．