Question

如圖，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=

2π

3

，PD=2

3

，E是PB的中點．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）求三棱錐D-BCE的體積V_D-BCE．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：

分析：（Ⅰ）證明AC⊥PD，AC⊥BD，通過PD∩BD=D，證明AC⊥面PBD，然后證明面AEC⊥面PBD；
（Ⅱ）利用V_D-BCE=V_E-DBC，即可求三棱錐D-BCE的體積V_D-BCE．

解答： （Ⅰ）證明：因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC，
又四邊形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
而PD∩BD=D，
所以AC⊥面PBD，
又AC?面AEC，
所以平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）解：∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=

2π

3

，PD=2

3

，E是PB的中點，
所以V_D-BCE=V_E-DBC=

1

3

×

1

2

×2×

3

×

3

=1．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定定理的應用，考查三棱錐D-BCE的體積，考查空間想象能力，正確運用線面垂直的判定定理是關鍵．