Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0), 動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：△ABC的周長(zhǎng)為．記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍；
（Ⅲ）已知點(diǎn)M（），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量 與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）且；（3）不存在常數(shù)k，使得向量與共線.

(Ⅰ) 設(shè)C（x, y）, ∵, , ∴,∴由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．
∴． ∴．∴W:   ．……2分
(Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，得．
整理，得．        ①…………………………5分
因?yàn)橹本�l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于
，解得或．
∴滿足條件的k的取值范圍為且……7分
（Ⅲ）設(shè)P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,
由①得．②  又    ③
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823182835966459.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以．………………………11分
所以與共線等價(jià)于．將②③代入上式
解得．所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線．…12分∴由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．
∴． ∴．∴W:   ．……2分
(Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，得．
整理，得．        ①…………………………5分
因?yàn)橹本�l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于
，解得或．
∴滿足條件的k的取值范圍為且……7分
（Ⅲ）設(shè)P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,
由①得．②  又    ③
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823182835966459.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以．………………………11分
所以與共線等價(jià)于．將②③代入上式
解得．所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線．…12分