Question

等差數(shù)列{a_n}中，若S_n是它前n項和且S₆＜S₇，S₇＞S₈，|a₇|＜|a₈|，則下列命題成立的是

 

．
（1）{a_n}前7項遞增，從第8項開始遞減        
（2）S₉一定小于S₆
（3）a₁是各項中最大的項                   
（4）S₁₃＞0且S₁₄＜0．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，可求得a₇＞0，a₈＜0，公差d＜0，從而可判斷（1）與（3）；
（2）利用a₈＜0，S₉=S₆+a₇+a₈+a₉=S₆+3a₈＜S₆，可判斷（2）
（4）利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可得S₁₃=13a₇＞0，S₁₄=

14(a7+a8)

2

＜0，可判斷（4）．

解答： 解：對于（1）和（3），∵等差數(shù)列{a_n}中，S₆＜S₇，S₇＞S₈，
∴a₇=S₇-S₆＞0，a₈=S₈-S₇＜0，即公差d=a₈-a₇＜0，
∴等差數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，a₁是各項中最大的項，故（1）錯誤，（3）正確；
對于（2），等差數(shù)列{a_n}中，∵|a₇|＜|a₈|，a₇＞0，a₈＜0，
∴a₇＜-a₈，
∴a₇+a₈＜0，
∴S₉=S₆+a₇+a₈+a₉=S₆+3a₈＜S₆，故（2）正確；
對于（4），∵S₁₃=

13(a1+a13)

2

=

13×2a7

2

=13a₇＞0，S₁₄=

14(a1+a14)

2

=

14(a7+a8)

2

＜0，故（4）正確．
綜上所述，正確的選項為（2）（3）（4），
故答案為：（2）（3）（4）．

點評：本題考查等差數(shù)列的函數(shù)特性，著重考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式的應用，考查等差數(shù)列的單調(diào)性，確定出a₇＞0，a₈＜0，公差d＜0是關鍵，考查轉化思想．