已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an+1=Sn-n+3,n∈N+,a1=2.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(Ⅱ)設(shè)bn=
n
Sn-n+2
(n∈N+)
的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn
4
3
分析:(1)根據(jù)題中所給的an+1=Sn-n+3,可得an=sn-1-(n-1)+3,兩者相減即可得出遞推式,進(jìn)而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng).
(2)根據(jù)題中所給的式子,求出bn的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出的前n項(xiàng)和Tn,再比較它與
4
3
的大小.
解答:解:(Ⅰ)∵an+1=Sn-n+3,n≥2時(shí),an=Sn-1-(n-1)+3,(2分)∴an+1-an=an-1,即an+1=2an-1,∴an+1-1=2(an-1),(n≥2,n∈N*),(4分)∴an-1=(a2-1)2n-2=3•2n-2an=
2,n=1
3•2n-2+1,n≥2
(6分)
(Ⅱ)∵Sn=an+1+n-3=3•2n-1+n-2,∴bn=
n
3•2n-1
(8分)∴Tn=
1
3
(1+
2
2
+
3
22
++
n
2n-1
)
1
2
Tn=
1
3
(
1
2
+
2
22
+
3
23
++
n
2n
)

相減得,
1
2
Tn=
1
3
(1+
1
2
+
1
22
++
1
2n-1
-
n
2n
)
,(10分)
Tn=
4
3
(1-
1
2n
)-
2
3
n
2n
4
3
.(12分)
∴結(jié)論成立.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式之間關(guān)系求解及相關(guān)計(jì)算.
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-1

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