Question

若函數(shù)f（x）=3-log_ax，x∈[a，2a]的最小值不小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：分①當(dāng)a＞1和②當(dāng)0＜a＜1兩種情況，分別利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，再由函數(shù)的最小值大于或等于1，求得得a的范圍．再把以上實(shí)數(shù)a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：①當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=3-log_ax在（0，+∞）上是減函數(shù)，
由題意可得函數(shù)的最小值f（2a） 3-log_a（2a）≥1，即 log_a（2a）≤2，0＜2a≤a²，
解得 a≥2．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=3-log_ax在（0，+∞）上是增函數(shù)，
由題意可得 函數(shù)的最小值f（a）=3-log_aa≥1，即 log_aa≤2，顯然成立．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥2，或0＜a＜1}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．