Question

9．a(chǎn)∈R，則$\frac{{a}^{2}+2}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$的最小值是2，此時a=0．

Answer 1

分析 首先，講所給式子化簡為$\sqrt{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，然后，換元，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：$\frac{{a}^{2}+2}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$
=$\frac{{a}^{2}+1+1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
令$\sqrt{{a}^{2}+1}$=t，（t≥1），
∴y=t+$\frac{1}{t}$，在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴t=1時，該函數(shù)取得最小值為2，此時a=0．
故答案為：2，0．

點評 本題重點考查了函數(shù)的單調(diào)性、換元法在求解函數(shù)最值中的應用等知識，屬于中檔題．