Question

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足以下三個條件：
Ⅰ．對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；Ⅱ．f（1）=1；Ⅲ．若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．則稱f（x）為“友誼函數(shù)”，請解答下列各題：
（1）若已知f（x）為“友誼函數(shù)”，求f（0）的值；
（2）函數(shù)g（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由．

Answer 1

解：（1）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），
得f（0）≥f（0）+f（0），化簡可得f（0）≤0
又由f（0）≥0，得f（0）=0
（2）顯然g（x）=2^x-1在[0，1]上滿足[Ⅰ]g（x）≥0；[Ⅱ]g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，則有
g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=
故g（x）=2^x-1滿足條件[1]、[2]、[3]，所以g（x）=2^x-1為友誼函數(shù)．
分析：（1）賦值可考慮取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0
（2）要判斷函數(shù)g（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“友誼函數(shù)，只要檢驗函數(shù)g（x）=2^x-1在[0，1]上是否滿足[I]g（x）≥0；[Ⅱ]g（1）=1；[III]x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，有g(shù)（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）
點評：采用賦值法是解決抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用的常用方法，而函數(shù)的新定義往往轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)性質(zhì)的研究，本題結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)值域的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．