已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:
①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的最大值;
(3)若對(duì)于任意x∈[0,1],總有4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)令x1=x2=0代入即可得答案.
(2)用定義確定函數(shù)f(x)是[0,1]上的增函數(shù),所以當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)f(x)去最大值.
(3)先根據(jù)f(x)的單調(diào)性確定f(x)的取值范圍,再用分離參數(shù)的方法將a表示出來(lái)后用基本不等式求實(shí)數(shù)a的范圍.
解答:解:(1)對(duì)于條件③,令x1=x2=0,得f(0)≤0.
又由條件①知f(0)≥0,∴f(0)=0.
(2)設(shè)0≤x1<x2≤1,則x2-x1∈(0,1],
∴f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)≥f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0,
即f(x2)≥f(x1).
故f(x)在[0,1]上是單調(diào)遞增的,
從而f(x)的最大值是f(1)=1.
(3)∵f(x)在x∈[0,1]上是增函數(shù),
∴f(x)∈[0,1].
又∵4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0,
∴4f2(x)-8f(x)+5≥4a[1-f(x)].
當(dāng)f(x)≠1時(shí),a≤
4f2(x)-8f(x)+5
4[1-f(x)]

令y=
4f2(x)-8f(x)+5
4[1-f(x)]
=
4[1-f(x)]2+1
4[1-f(x)]
=1-f(x)+
1
4[1-f(x)]
≥1,
∴a≤1.
當(dāng)f(x)=1時(shí),4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a=4-4(2-a)+5-4a=4-8+4a+5-4a=1≥0恒成立,
∴a≤1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式的有關(guān)問(wèn)題.用基本不等式時(shí)注意其要等號(hào)成立時(shí)要滿足的條件.
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已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:
①對(duì)任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0; 
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,并且稱f(x)為“友誼函數(shù)”,
請(qǐng)解答下列各題:
(1)若已知f(x)為“友誼函數(shù)”,求f(0)的值;
(2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否為“友誼函數(shù)”?并給出理由.
(3)已知f(x)為“友誼函數(shù)”,且 0≤x1<x2≤1,求證:f(x1)≤f(x2).

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①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,則有f (x1+x2)≥f (x1)+f (x2).
(1)試求f(0)的值;
(2)試求函數(shù)f(x)的最大值;
(3)試證明:當(dāng)x∈(
1
2n
1
2n-1
]
,n∈N+時(shí),f(x)<2x.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:①對(duì)任意x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
(1)求f(0)的值;
(2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否同時(shí)適合①②③?并予以證明;
(3)假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求證:f(x0)=x0

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①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)試求f(0)的值;
(2)試求函數(shù)f (x)的最大值;
(3)試證明:當(dāng)x∈(
1
4
1
2
]
時(shí),f(x)<2x.

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