Question

已知x，y是實數(shù)，且x²+y²-4x-6y+12=0．求
（1）

y

x

的最值；
（2）x²+y²的最值；
（3）x+y的最值；
（4）x-y的最值．

Answer 1

考點：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：x²+y²-4x-6y+12=0化為（x-2）²+（y-3）²=1，可得圓心C（2，3），半徑r=1．
（1）設(shè)

y

x

=k，可得y=kx，由

|2k-3|

k2+1

≤1，解得即可．
（2）設(shè)P（x，y）是圓上的任意一點，|OP|²=x²+y²．由于|OC|=

22+32

=

13

，可得|OC|-r≤|OP|≤|OC|+r．
（3）令x+y=t，由

|2+3-t|

2

=1，解得即可得出．
（4）令x-y=s，由

|2-3-s|

2

=1，解得即可得出．

解答： 解：x²+y²-4x-6y+12=0化為（x-2）²+（y-3）²=1，可得圓心C（2，3），半徑r=1．
（1）設(shè)

y

x

=k，可得y=kx，由

|2k-3|

k2+1

≤1，解得

6-2 3

3

≤k≤

6+2 3

3

．
∴

y

x

的最大值與最小值分別為：

6+2 3

3

，

6-2 3

3

；
（2）設(shè)P（x，y）是圓上的任意一點，|OP|²=x²+y²．
∵|OC|=

22+32

=

13

，
∴

13

-1≤|OP|≤

13

+1，
∴14-2

13

≤x2+y2≤14+2

13

．
（3）令x+y=t，由

|2+3-t|

2

=1，解得t=5±

2

，
∴x+y的最大值與最小值分別為：5+

2

，5-

2

．
（4）令x-y=s，由

|2-3-s|

2

=1，解得s=-1±

2

，
∴x+y的最大值與最小值分別為：

2

-1，-1-

2

．

點評：本題考查了圓的標準方程及直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．