Question

已知橢圓C₁：，拋物線C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點。
（1）當AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；
（2）若且拋物線C₂的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程。

Answer 1

解；（1）當AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m=0，
直線AB的方程為x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，-）
因為點A在拋物線上，
所以，即
此時C₂的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上。
（2）當C₂的焦點在AB時，由（1）知直線AB的斜率存在，
設直線AB的方程為
由消去y得 ①
設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程①的兩根，x₁+x₂=
因為AB既是過C₁的右焦點的弦，又是過C₂的焦點的弦，
所以，且
從而
所以，即
解得，即
因為C₂的焦點在直線上，
所以
即或
當時，直線AB的方程為
當時，直線AB的方程為。