Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）通過兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，然后求解周期；
（2）求出相位的范圍，然后利用三角函數(shù)的有界性求解最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1
=sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$+sin2xcos$\frac{π}{3}$-cos2xsin$\frac{π}{3}$+cos2x
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$$sin（2x+\frac{π}{4}）$
∴$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，2x+$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，$sin（2x+\frac{π}{4}）$∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
f（x）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最小值為-1；最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的周期以及三角函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．