Question

對于函數(shù)y=lg|x-3|和y=sin

πx

2

（-4≤x≤10），下列說法正確的是

 

．
（1）函數(shù)y=lg|x-3|的圖象關(guān)于直線x=-3對稱；
（2）y=sin

πx

2

（-4≤x≤10）的圖象關(guān)于直線x=3對稱；
（3）兩函數(shù)的圖象一共有10個(gè)交點(diǎn)；
（4）兩函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于30；
（5）兩函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于24．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=lg|x-3|和y=sin

πx

2

（-4≤x≤10）的圖象，據(jù)此對（1）、（2）、（3）、（4）、（5）5個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．

解答： 解：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=lg|x-3|和y=sin

πx

2

（-4≤x≤10）的圖象如下圖所示：

由圖可知：
函數(shù)y=lg|x-3|的圖象關(guān)于直線x=3對稱，故（1）錯(cuò)誤；
當(dāng)x=3時(shí)，y=sin

πx

2

取最小值-1，即直線x=3為函數(shù)y=sin

πx

2

的一條對稱軸，又由定義域關(guān)于x=3對稱，故（2）正確；
兩函數(shù)的圖象一共有10個(gè)交點(diǎn)，故（3）正確；
由圖知，兩曲線的10個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=3對稱，即這些交點(diǎn)的平均數(shù)為3，故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于30，故（4）正確，（5）錯(cuò)誤，
故正確的命題有：（2）（3）（4）．
故答案為：（2）（3）（4）．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查對數(shù)函數(shù)與正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作圖是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．