Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，

E、F分別是AB、CD上的點，且EF∥BC.設AE =，G是BC的中點．

沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）．

（1）當=2時，求證：BD⊥EG ；

（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（3）當取得最大值時，求二面角D-BF-E的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）時有最大值為．（3）cos<>=。

【解析】

試題分析：（1）∵平面平面，

        AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，

據此建立建立空間坐標系E-xyz．然后利用,證得.

(2) ∵AD∥面BFC，利用 建立關于x的一元二次函數，求出其最大值.

(3)在（2）的條件下，分別求出二面角D-BF-E兩個面的法向量，根據法向量的夾角與二面角相等或互補求解.

（1）方法一：

∵平面平面，

AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，

又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標系E-xyz．

 

，又為BC的中點，BC=4，

．則A（0，0，2），B（2，0，0），

G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

（－2，2，2），（2，2，0），

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，

∴．……4分

方法二：

作DH⊥EF于H，連BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH．

為平行四邊形，且，四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，

故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．………4分

（或者直接利用三垂線定理得出結果）

（2）∵AD∥面BFC，所以 =V_A-BFC＝

，即時有最大值為． ………8分

（3）設平面DBF的法向量為，∵AE=2， B（2，0，0），

D（0，2，2），F（0，3，0），∴………9分

（－2，2，2），

則 ，即，

取，∴

，面BCF一個法向量為，

則cos<>=，………14分.

考點：空間向量法在證明與求角當中的應用.

點評：利用空間向量法關鍵是選擇恰當的坐標系，本小題在證明AE⊥EF，AE⊥BE，

BE⊥EF的基礎上，可如圖建立空間坐標系E-xyz．下面利用兩向量數量積為零來證明直線垂直，求兩個面的法向量的夾角來求二面角即可.