Question

如圖，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點(diǎn)E分有向線段

.

AC

所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)

2

3

≤λ≤

3

4

時(shí)，求雙曲線離心率c的取值范圍．

Answer 1

分析：首先以AB的垂直平分線為γ軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，記A(-c，0)，C(

c

2

，h)，E(x0，y0)，其中c=

1

2

|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得x₀和y₀的表達(dá)式．設(shè)雙曲線方程，將點(diǎn)C、E坐標(biāo)和e分別代入雙曲線方程聯(lián)立后求得e和h的關(guān)系式，根據(jù)λ的范圍求得e的范圍．

解答：解：如圖，以AB的垂直平分線為γ軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOγ，則CD⊥γ軸．
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于γ軸對稱，
依題意，記A(-c，0)，C(

c

2

，h)，E(x0，y0)，
其中c=

1

2

|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，
由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x0=

-c+ c 2 λ

1+λ

=

(λ-2)c

2(λ+1)

，
γ0=

λh

1+λ

．
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則離心率e=

c

a

，
由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E坐標(biāo)和e=

c

a

代入雙曲線的方程，得

e2

4

-

h2

b2

=1，①

e2

4

(

λ-2

λ+1

)2-(

λ

λ+1

)2

h2

b2

=1．②
由①式得

h2

b2

=

e2

4

-1，③
將③式代入②式，整理得

e2

4

(4-4λ)=1+2λ，
故λ=1-

3

e2+2

由題設(shè)

2

3

≤λ≤

3

4

得，

2

3

≤1-

3

e2+2

≤

3

4

，
解得

7

≤e≤

10

，
所以，雙曲線的離心率的取值范圍為[

7

，

10

]．

點(diǎn)評：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．