Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，在橢圓E上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+1對稱．
（Ⅰ）現(xiàn)給出下列三個(gè)條件：①直線AB恰好經(jīng)過橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)；②橢圓E的右焦點(diǎn)F到直線l的距離為2

2

；③橢圓E的左、右焦點(diǎn)到直線l的距離之比為

1

2

．
試從中選擇一個(gè)條件以確定橢圓E，并求出它的方程；（注：只需選擇一個(gè)方案答題，如果用多種方案答題，則按第一種方案給分）
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓E的上頂點(diǎn)S，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）選擇條件②運(yùn)算量小一些，由橢圓E的右焦點(diǎn)F到直線l的距離為2

2

，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得c的值，再由離心率e=

2

2

，即可求得a值，最后由橢圓a²=b²+c²，求的b值即可得橢圓方程
（Ⅱ）先由離心率e=

2

2

，得a²=2b²，將橢圓方程化為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，再由橢圓E上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+1對稱，知AB的中點(diǎn)（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在直線：y=x+1上，聯(lián)立直線AB和橢圓方程，利用韋達(dá)定理列方程可得m的值，最后利用以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓E的上頂點(diǎn)S（0，b），，即AS⊥BS，即

AS

•

BS

=0，利用韋達(dá)定理列方程即可得b的值

解答：解：（Ⅰ）選擇條件②，∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0）
∵右焦點(diǎn)F到直線l的距離為2

2

，
∴

|c+1|

2

=2

2

，
∴c=3，a=3

2

∵a²=b²+c²，
∴b²=9
∴橢圓E的方程為

x2

18

+

y2

9

=1
（Ⅱ）∵離心率e=

2

2

∴a²=2b²
∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+1對稱，
∴直線AB的斜率為-1，設(shè)直線AB的方程為y=-x+m，代入橢圓方程

x2

2b2

+

y2

b2

=1得：（3b²）x²-4mb²x+2b²m²-2b⁴=0
∴△＞0時(shí)，x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2 (m2-b2)

3

依題意，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵橢圓E上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+1對稱，
∴AB的中點(diǎn)（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在直線：y=x+1上
∵

x1+x2

2

=

2m

3

，

y1+y2

2

=

-(x1+x2)+2m

2

=

m

3

，
∴m=-3
∵橢圓E的上頂點(diǎn)S（0，b），以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓E的上頂點(diǎn)S，即AS⊥BS，即

AS

•

BS

=0，即（-x₁，b-y₁）•（-x₂，b-y₂）=0
∴x₁x₂+（b-y₁）（b-y₂）=x₁x₂+y₁y₂-b（y₁+y₂）+b²=2x₁x₂+（b+3）（x₁+x₂）+9+6b+b²=0
∴

4(9-b2)

3

-4（b+3））+9+6b+b²=0，解得b=9，b=-3（舍去）
∴b=9

點(diǎn)評：本題考察了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真體會韋達(dá)定理在解決直線與圓錐曲線問題中的重要應(yīng)用．