Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不過原點的直線l與拋物線y²=4x相交于不同的A，B兩點．
（1）如果直線l過拋物線的焦點，求

OA

•

OB

的值；
（2）如果OA⊥OB，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)拋物線的方程得到焦點的坐標(biāo)，設(shè)出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表達(dá)出兩個向量的數(shù)量積．
（2）設(shè)出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于0，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由題意：拋物線焦點為（1，0），
設(shè)l：x=ty+1代入拋物線y²=4x消去x得，
y²-4ty-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4；
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4t²+4t²+1-4=-3．
（2）設(shè)l：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b
∴

OA

•

OB

=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b=0
∴b=4（0舍去）．
∴直線l過定點（4，0）．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算、直線過定點問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．