Question

【題目】橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，且到右焦點(diǎn)距離的最大值為．

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是上下頂點(diǎn)）．試問：直線是否經(jīng)過某一定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由；

(3)在(2)的條件下，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

(1)先根據(jù)已知得到a,c的值，再求b的值，即得橢圓的方程.(2) 設(shè)直線（k必存在），，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達(dá)定理，再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得到，再求出直線l所經(jīng)過的定點(diǎn).(3)先求出，再換元利用基本不等式求面積的最大值.

（1）由已知得：2a=4∴a=2，，，b=1，∴方程為：.

（2）依題意可設(shè)直線（k必存在），，將代入橢圓方程得．，∵

∴

∴ ，

∵點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，且，

∴，

，或（舍去），∴直線l必過定點(diǎn)

（3）不難得到：，

，

令，則，

∴（當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.