Question

（2012•許昌三模）已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx-cosx，下列四個(gè)命題：
①將f（x）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位可得到g（x）的圖象；
②y=f（x）g（x）是偶函數(shù)；
③f（x）與g（x）均在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上單調(diào)遞增；
④y=

f(x)

g(x)

的最小正周期為2π．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：將函數(shù)f（x）和g（x）的解析式都提取

2

，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
①利用平移規(guī)律“左加右減”即可得到f（x）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位可得到g（x），本選項(xiàng)為真命題；
②將f（x）與g（x）的解析式代入y=f（x）g（x）中，利用平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，由余弦函數(shù)為偶函數(shù)得到y(tǒng)為偶函數(shù)，本選項(xiàng)為真命題；
③由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，分別求出兩函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可作出判斷；
④將f（x）與g（x）的解析式代入y=

f(x)

g(x)

中，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，再利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正切函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的最小正周期，即可作出判斷．

解答：解：f（x）=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

sin（x+

π

4

），
g（x）=sinx-cosx=

2

（

2

2

sinx-

2

2

cosx）=

2

sin（x-

π

4

），
①將f（x）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位可得到的解析式為：

2

sin（x-

π

2

+

π

4

）=

2

sin（x-

π

4

）=g（x），
本選項(xiàng)為真命題；
②y=f（x）g（x）=（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin²x-cos²x=-cos2x，
∵余弦函數(shù)為偶函數(shù)，∴y為偶函數(shù)，本選項(xiàng)為真命題；
③f（x）=

2

sin（x+

π

4

），g（x）=

2

sin（x-

π

4

），
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z，
令-

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

π

4

+2kπ≤x≤

3π

4

+2kπ，k∈Z，
故f（x）與g（x）均在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上單調(diào)遞增，本選項(xiàng)為真命題；
④y=

f(x)

g(x)

=

sinx+cosx

sinx-cosx

=

tanx+1

tanx-1

=-

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=-tan（x+

π

4

），
∵ω=1，∴T=

π

1

=π，本選項(xiàng)假命題；
綜上，真命題的個(gè)數(shù)為3．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，余弦函數(shù)的奇偶性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角函數(shù)圖象的變換，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．