【題目】函數(shù),其圖象與軸交于, 兩點,且.
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)證明: (為的導(dǎo)函數(shù)).
(Ⅲ)設(shè)點在函數(shù)圖象上,且為等腰直角三角形,記,求的值.
【答案】(1);(2)詳見解析;(3)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意圖象與軸交于, 兩點,由零點的定義可得:函數(shù)的圖象要與x軸有兩個交點,而此函數(shù)的特征不難發(fā)現(xiàn)要對它進(jìn)行求導(dǎo),運用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求函數(shù)的性質(zhì),即: ,a的正負(fù)就決定著導(dǎo)數(shù)的取值情況,故要對a進(jìn)行分類討論:分和兩種情況,其中顯然不成立, 時轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值小于零,即可求出a的范圍; (2)由圖象與軸交于, 兩點,結(jié)合零點的定義可得: 整理可得: ,觀察其結(jié)構(gòu)特征,可想到整體思想,即: ,目標(biāo)為: ,運用整體代入化簡可得: ,轉(zhuǎn)化為對函數(shù)進(jìn)行研究,運用導(dǎo)數(shù)知識不難得到,即: ,故而是單調(diào)增函數(shù),由不等式知: ,問題可得證; (3)由題意有,化簡得,而在等腰三角形ABC中,顯然只有C= 90°,這樣可得,即,結(jié)合直角三角形斜邊的中線性質(zhì),可知,所以,即,運用代數(shù)式知識處理可得: ,而,所以,即,所求得
試題解析:(1).
若,則,則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),這與題設(shè)矛盾.
所以,令,則.
當(dāng)時, , 是單調(diào)減函數(shù); 時, , 是單調(diào)增函數(shù);
于是當(dāng)時, 取得極小值.
因為函數(shù)的圖象與軸交于兩點, (x1<x2),
所以,即
此時,存在;
存在 ,
又由在及上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷,可知為所求取值范圍.
(2)因為兩式相減得
記,則,
設(shè),則,所以是單調(diào)減函數(shù),
則有,而,所以.
又是單調(diào)增函數(shù),且
所以.
(3)依題意有,則.
于是,在等腰三角形ABC中,顯然C= 90°, 13分
所以,即,
由直角三角形斜邊的中線性質(zhì),可知,
所以,即,
所以,
即.
因為,則,
又,所以,
即,所以
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中山某學(xué)校的場室統(tǒng)一使用“歐普照明”的一種燈管,已知這種燈管使用壽命(單位:月)服從正態(tài)分布,且使用壽命不少于個月的概率為,使用壽命不少于個月的概率為.
(1)求這種燈管的平均使用壽命;
(2)假設(shè)一間課室一次性換上支這種新燈管,使用個月時進(jìn)行一次檢查,將已經(jīng)損壞的燈管換下(中途不更換),求至少兩支燈管需要更換的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
極坐標(biāo)系的極點為直角坐標(biāo)系的原點,極軸為軸的正半軸,兩神坐標(biāo)系中的長度單位相同.已知曲線的極坐標(biāo)方程為, .
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在曲線上求一點,使它到直線: (為參數(shù))的距離最短,寫出點的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓與軸負(fù)半軸相交于點,與軸正半軸相交于點.
(1)若過點的直線被圓截得的弦長為,求直線的方程;
(2)若在以為圓心半徑為的圓上存在點,使得 (為坐標(biāo)原點),求的取值范圍;
(3)設(shè)是圓上的兩個動點,點關(guān)于原點的對稱點為,點關(guān)于軸的對稱點為,如果直線與軸分別交于和,問是否為定值?若是求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景點擬建一個扇環(huán)形狀的花壇(如圖所示),按設(shè)計要求扇環(huán)的周長為36米,其中大圓弧所在圓的半徑為14米,設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米,圓心角為(弧度).
⑴ 求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
⑵ 已知對花壇的邊緣(實線部分)進(jìn)行裝飾時,直線部分的裝飾費用為4元/米,弧線部分的裝飾費用為16元/米,設(shè)花壇的面積與裝飾總費用之比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線的焦點,斜率為的直線交拋物線于兩點,且.
(1)求該拋物線的方程;
(2)已知拋物線上一點,過點作拋物線的兩條弦和,且,判斷直線是否過定點?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求的方程;
(2)若動點在直線上,過作直線交橢圓于兩點,使得,再過作直線,證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若為整數(shù),且當(dāng)時, ,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面四邊形ABCD中,AB=8,AD=5,CD=,∠A=,∠D=.
(Ⅰ)求△ABD的內(nèi)切圓的半徑;
(Ⅱ)求BC的長.
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