Question

已知正方形ABCD的邊長為2，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC=a，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（Ⅰ）當a=2時，求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）當二面角A-BD-C的大小為120°時，求AD與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）由已知得AO⊥CO，AO⊥BD．由此能證明AO⊥平面BCD．
（Ⅱ）以O(shè)為原點，OC，OD所在的直線分別為x軸，y軸，建立如圖的空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-BC-D的正弦值．

解答： （I）證明：根據(jù)題意，在△OAC中，AC=a=2，AO=CO=

2

，
所以AC²=AO²+CO²，所以AO⊥CO，
因為ACBD是正方形ABCD的對角線，
所以AO⊥BD．
因為BD∩CO=O，
所以AO⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CO⊥OD，
如圖，以O(shè)為原點，OC，OD所在的直線分別為x軸，y軸，
建立如圖的空間直角坐標系O-xyz，
則有O（0，0，0），D（0，

2

，0），C（

2

，0，0），B（0，-

2

，0）．
設(shè)A（x₀，0，z₀），（x₀＜0），則

OA

=（x₀，0，z₀），

OD

=（0，

2

，0）．
又設(shè)面ABD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • OA =x0x+z0z=0 2 y1=0

，令x=z₀，得

n

=(z0，0，-x0)．
因為平面BCD的一個法向量為

m

=(0，0，1)，
且二面角A-BD-C的大小為120°，
所以|cos＜

n

，

m

＞|=|cos120°|=

1

2

，得z02=3x02．
因為|OA|=

2

，所以

x02+z02

=

2

．
解得x0=-

2

2

，z0=

6

2

．所以A（-

2

2

，0，

6

2

）．
設(shè)平面ABC的法向量為

p

=（a，b，c），
∵

BA

=（-

2

2

，

2

，

6

2

），

BC

=（

2

，

2

，0），
則

p • BA =- 2 2 a+ 2 b+ 6 2 c=0 p • BC = 2 a+ 2 b=0

，
令a=1，則

p

=（1，-1，

3

）．
設(shè)二面角A-BC-D的平面角為θ，
所以cosθ=|cos＜

p

，

m

＞|=|

3

1+1+( 3 )2

|=

15

5

．
所以sinθ=

10

5

．
所以二面角A-BC-D的正弦值為

10

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．