Question

（2012•泰安二模）設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先確定函數(shù)f（x）的定義域，然后對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減求出單調(diào)區(qū)間．
（II）當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，極大值小于0，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=

1-ax

x

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，則1-ax＞0，ax＜1，∵x＞0，∴0＜x＜

1

a

令f′（x）＜0，則1-ax＜0，ax＞1，x＞

1

a

∴當(dāng)a＞0時(shí)f（x）在（0，

1

a

）上是增函數(shù)，在（

1

a

，+∞）上是減函數(shù)．
（II）當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)x＞0，且無(wú)限趨近于0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-a≥0，故函數(shù)有零點(diǎn)
當(dāng)a＞0時(shí)，若極大值小于0，即f（

1

a

）=-lna-1＜0，即a＞

1

e

，則函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)．
∴函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

1

e

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．