Question

設(shè)f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2ax．
（1）若f（x）在（

2

3

，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在[1，4]上的最小值為-

16

3

，求f（x）在該區(qū)間的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=-x²+x+2a，求出函數(shù)的最值，繼而得到a的取值范圍．
（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)．在判斷函數(shù)的再某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到最值．

解答： 解：（1）由f′(x)=-x2+x+2a=-(x-

1

2

)2+

1

4

+2a．
當(dāng)x∈[

2

3

，+∞)時(shí)，f'（x）的最大值為f′(

2

3

)=-(

2

3

-

1

2

)2+

1

4

+2a=

2

9

+2a．
因?yàn)閒（x）在(

2

3

，+∞)上是單調(diào)減函數(shù)，則f'（x）≤0在(

2

3

，+∞)上成立，
所以

2

9

+2a≤0，解得a≤-

1

9

，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞，-

1

9

]．
（2）令f′(x)=0，得兩根x1=

1- 1+8a

2

，x2=

1+ 1+8a

2

．
因?yàn)楫?dāng)x＜x₁或x＞x₂時(shí)f'（x）＜0，當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)f'（x）＞0
所以f（x）在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增．
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，有x₁＜1＜x₂＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值為f（x₂），
又f(4)-f(1)=-

27

2

+6a＜0，即f(4)＜f(1)．
所以f（x）在[1，4]上的最小值為f(4)=8a-

40

3

=-

16

3

．
得a=1，x₂=2，從而f（x）在[1，4]上的最大值為f(2)=

10

3

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．