【題目】已知橢圓離心率為,以原點(diǎn)為圓心,以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O與直線:相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn),滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求△OPQ面積的取值范圍.
【答案】(1);(2)(0,1).
【解析】
(1)根據(jù)直線與圓相切的條件和橢圓的離心率可求得a,b,可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)出直線的方程y=kx+m(m≠0),將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得出交點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)間的關(guān)系,再由直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,得出0<m2<2且m2≠1,表示出△OPQ的面積可求得△OPQ面積的取值范圍.
(1)由直線:與圓相切得:,由得,
又,,,
所以橢圓C的方程為;
(2)由題意可知,直線的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
則Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,且x1+x2=,x1x2=.
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
因?yàn)橹本OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,所以·==k2,
即+m2=0,又m≠0,所以k2=,即k=±.
由Δ>0,及直線OP,OQ的斜率存在,得0<m2<2且m2≠1.
S△OPQ=|x1-x2||m|=,
所以S△OPQ的取值范圍為(0,1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》(第三季)亮點(diǎn)頗多,在“人生自有詩(shī)意”的主題下,十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開場(chǎng)詩(shī)詞在聲光舞美的配合下,百人團(tuán)齊聲朗誦,別有韻味.若《沁園春·長(zhǎng)沙》、《蜀道難》、《敕勒歌》、《游子吟》、《關(guān)山月》、《清平樂·六盤山》排在后六場(chǎng),且《蜀道難》排在《游子吟》的前面,《沁園春·長(zhǎng)沙》與《清平樂·六盤山》不相鄰且均不排在最后,則后六場(chǎng)的排法有__________種.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的左焦點(diǎn)為,且點(diǎn)在C上.
求C的方程;
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)不經(jīng)過P點(diǎn)且斜率為的直線1與C交于A,B兩點(diǎn),直線PA,PB分別與x軸交于點(diǎn)M,N,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程以及曲線的參數(shù)方程;
(2)當(dāng)時(shí),為曲線上動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圖形ABCDEF,內(nèi)部連有線段.
(1)由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線有多少條?
(2)由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線有多少條?
(3)求出圖中總計(jì)有多少個(gè)矩形?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知直線與曲線相切于兩點(diǎn),則對(duì)于函數(shù),以下結(jié)論成立的是( )
A.有3個(gè)極大值點(diǎn),2個(gè)極小值點(diǎn)B.有2個(gè)零點(diǎn)
C.有2個(gè)極大值點(diǎn),沒有極小值點(diǎn)D.沒有零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,其中為常數(shù).
(1)求的值;
(2)當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程在上有解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī),得到如下所示的列聯(lián)表:
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
總計(jì) |
已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人,成績(jī)優(yōu)秀的概率為,則下列說法正確的是( )
A. 列聯(lián)表中的值為30,的值為35
B. 列聯(lián)表中的值為15,的值為50
C. 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按的可靠性要求,能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”
D. 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按的可靠性要求,不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】獨(dú)立性檢驗(yàn)中,假設(shè):運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系.在上述假設(shè)成立的情況下,計(jì)算得的觀測(cè)值.下列結(jié)論正確的是
A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)有關(guān)
B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)無關(guān)
C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)有關(guān)
D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)無關(guān)
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