Question

如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°
（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面體ABCD的體積．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D為60°，求異面直線AD與BC所成角的余弦值．

Answer 1

解：（I）設(shè)F為AC的中點，由于AD=CD，
所以DF⊥AC．
故由平面ABC⊥平面ACD，
知DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，
AF=ADcos30°=，
在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，
由勾股定理易知BC=，AB=．
故四面體ABCD的體積V==．
（II）設(shè)G，H分別為邊CD，BD的中點，則FG∥AD，GH∥BC，
從而∠FGH是異面直線AD與BC所成角或其補角．
設(shè)E為邊AB的中點，則EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，
又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂線定理知DE⊥AB，
所以∠DEF為二面角C-AB-D的平面角，由題設(shè)知∠DEF=60°．
設(shè)AD=a，則DF=AD•SsinCAD=，
在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，
從而GH=BC=EF=，因Rt△ADE≌Rt△BDE，
故在Rt△BDF中，F(xiàn)H=．
又FG=AD=，從而在△FGH中，因FG=FH，
由余弦定理得cosFGH==．
分析：（I）要求四面體ABCD的體積，必須確定它的高和底面，由已知，△ABC作為底面，高易作，根據(jù)線段的長度，即可求得四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）利用三垂線定理找出二面角C-AB-D的平面角，根據(jù)該角為60°，找到各邊之間的關(guān)系，利用平移的方法找出異面直線AD與BC所成角，解三角形，即可求得異面直線AD與BC所成角的余弦值．
點評：此題是個中檔題．考查棱錐的體積公式和異面直線所成角問題，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角時注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想．