Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都是[-1，1]（其圖象如圖所示），函數(shù)g（x）=sinx，x∈[-π，π]．定義：當(dāng)f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]）時，稱x₂是方程f（g（x））=0的一個實數(shù)根．則方程f（g（x））=0的所有不同實數(shù)根的個數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過圖象可知方程f（x）=0數(shù)有4個非零實數(shù)解，由g（x）=sinx，x∈[-π，π]，當(dāng)f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]），即f[g（x）]=0根的個數(shù)推出正確結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁，即f[g（x）]=0
通過圖象可知方程f（x）=0有4個非零實數(shù)解，分別設(shè)為t₁，t₂，t₃，t₄，
由已知中的圖象可知：t₁，t₂，t₃，t₄∈（-1，1）
又∵函數(shù)g（x）=sinx，x∈[-π，π]，
∴g（x）∈[-1，1]，
∴g（x）分別為t₁，t₂，t₃，t₄時都有兩個x值與之對應(yīng)，
因此方程f（g（x））=0的所有不同實數(shù)根的個數(shù)是8個，
故選：D

點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，考查邏輯思維能力，是中檔題．