Question

已知函數f(x)＝ax－－2lnx．(a∈R)

(1)若a＝2，求曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若a＞0且函數f(x)在其定義域內為增函數，求實數a的取值范圍；

(3)若函數y＝f(x)在x∈(0，3)存在極值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)若， 　　　1分 　　直線斜率＝2，切點為(1，0) 　　所以曲線在點處的切線方程：　3分 　　(2)，　4分 　　∵在定義域內是增函數，∴在內恒成立 　　即在上恒成立　5分 　　(法一)即在上恒成立 　　∴，設　6分 　　則 　　∵，∴，當且僅當時取等號　7分 　　∴，即，∴ 　　所以實數的取值范圍是　8分 　　(法二)令， 　　∵在定義域內是增函數，∴在內恒成立．　6分 　　由題意，的圖象為開口向上的拋物線， 　　對稱軸方程為，∴，　7分 　　∴， 　　解得 　　∴實數的取值范圍是．　8分 　　(3)(法一)∵，令即　9分 　　設 　　當時，方程()的解為，此時在無極值， 　　所以； 　　當時，的對稱軸方程為 　�、偃�在恰好有一個極值 　　則，解得 　　此時在存在一個極大值；　11分 　�、谌�在恰好兩個極值，即在有兩個不等實根 　　則或，解得　13分 　　綜上所述，當時，在存在極值．　14分 　　(法二)∵，令即 　　由得　9分 　　令 　　 　　當且僅當時等號成立．　11分 　　∵ 　　∴　12分 　　又∵時，在上恒成立 　　∴不滿足條件， 　　∴當時，在存在極值．　14分 　　(注：其它解法給相應分數)