Question

（2013•�？诙�模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2a_n=S_n+2n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{n•a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)2a_n=S_n+2n+1，分別取n=1，2，3，可求出a₁，a₂，a₃的值；
（II）因?yàn)?a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立，兩式相減可得a_n+1+2=2（a_n+2），然后根據(jù)等比數(shù)列定義可得結(jié)論；
（III）先求出數(shù)列{n•a_n}的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和即可．

解答：（本小題滿分13分）
（I）解：由題意，當(dāng)n=1時(shí)，得2a₁=a₁+3，解得a₁=3．
當(dāng)n=2時(shí)，得2a₂=（a₁+a₂）+5，解得a₂=8．
當(dāng)n=3時(shí)，得2a₃=（a₁+a₂+a₃）+7，解得a₃=18．
所以a₁=3，a₂=8，a₃=18為所求．…（3分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)?a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立．
兩式相減得：2a_n+1-2a_n=a_n+1+2．
所以a_n+1=2a_n+2（n∈N^*），即a_n+1+2=2（a_n+2）．…（5分）
所以數(shù)列{a_n+2}是以a₁+2=5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．…（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ） 得：a_n+2=5×2^n-1，即a_n=5×2^n-1-2（n∈N^*）．
則na_n=5n•2^n-1-2n（n∈N^*）．…（8分）
設(shè)數(shù)列{5n•2^n-1}的前n項(xiàng)和為P_n，
則P_n=5×1×2⁰+5×2×2¹+5×3×2²+…+5×（n-1）•2^n-2+5×n•2^n-1，
所以2P_n=5×1×2¹+5×2×2²+5×3×2³+…+5（n-1）•2^n-1+5n•2ⁿ，
所以-P_n=5（1+2¹+2²+…+2^n-1）-5n•2ⁿ，
即P_n=（5n-5）•2ⁿ+5（n∈N^*）．…（11分）
所以數(shù)列{n•a_n}的前n項(xiàng)和T_n=(5n-5)•2n+5-2×

n(n+1)

2

，
整理得，T_n=（5n-5）•2ⁿ-n²-n+5（n∈N^*）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比關(guān)系的確定，以及利用錯(cuò)位相消法求和，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．