Question

已知函數(shù)f(x)＝－x²＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．
(1)若g(x)＝m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；
(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根．

Answer 1

(1) [2e，＋∞)   (2) (－e²＋2e＋1，＋∞)

解：(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e(x>0)，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)x＝e時(shí)，g(x)有最小值2e.
因此g(x)＝m有零點(diǎn)，只需m≥2e.
∴m∈[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根，
則函數(shù)g(x)與f(x)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
如圖所示，作出函數(shù)g(x)＝x＋ (x>0)的大致圖像．

∵f(x)＝－x²＋2ex＋m－1
＝－(x－e)²＋m－1＋e²，
∴其對(duì)稱軸為x＝e，f(x)_max＝m－1＋e².
若函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，
必須有m－1＋e²>2e，即m>－e²＋2e＋1.
即g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根，
則m的取值范圍是(－e²＋2e＋1，＋∞)．