Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=

7

2

，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由首項(xiàng)結(jié)合數(shù)列遞推式求出第二項(xiàng)和第三項(xiàng)，然后構(gòu)造等差數(shù)列{

an-1

3n

}，求出其首項(xiàng)和公差，寫出其通項(xiàng)公式，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求．

解答： 解：由a₁=

7

2

，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，得
a2=3×

7

2

+8=

37

2

，
a3=3×

37

2

+28=

167

2

．
設(shè)

an+λ

3n

=xn+y，
則

7 2 =3x+3y-λ 37 2 =18x+9y-λ 167 2 =81x+27y-λ

．
解得：x=

10

9

，y=-

5

18

，λ=-1．
∴

an-1

3n

=

10

9

n-

5

18

，
即數(shù)列{

an-1

3n

}構(gòu)成以

5

6

為首項(xiàng)，以

10

9

為公差的等差數(shù)列．
∴

an-1

3n

=

5

6

+

10

9

(n-1)=

10

9

n-

5

18

．
∴an=(

10

9

n-

5

18

)•3n+1．
故答案為：(

10

9

n-

5

18

)•3n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．