Question

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=．
（Ⅰ）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求直線PE與平面PBC所成角的正弦值．
（Ⅲ） 在PC上是否存在一點Q，使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）若M為PA中點，證明MN∥AC，利用線面平行的判定，即可證明AC∥平面MDE；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，確定面PBC的法向量，即可求直線PE與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）確定平面QAD的法向量，利用平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：連結(jié)PC，交DE與N，連結(jié)MN，
∵△PAC中，M，N分別為兩腰PA，PC的中點，
∴MN∥AC…（1分）
因為MN?面MDC，又AC?面MDC，所以AC∥平面MDC…（3分）
（Ⅱ）解：∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC，
又AD?平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD，
∴AD⊥平面PDCE，
又PD?平面PDCE，∴AD⊥PD．…（4分）
以D為空間坐標系的原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，…（6分）
設(shè)面PBC的法向量=（x，y，1），應(yīng)有
即：
解得：，所以…（8分）
設(shè)PE與PBC所成角的大小為θ，∵
∴，…（9分）
（Ⅲ）解：設(shè)-------（10分）

設(shè)平面QAD的法向量為=（x′，y′，1），
即：…（11分）
解得：，所以…（12分）
∵面PBC的法向量，平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為．
∴，…（13分）
∴
所以，PC上存在點Q滿足條件，Q與P重合，或…（14分）
點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查面面角，考查空間向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定平面的法向量是關(guān)鍵．