Question

如圖PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a．
（Ⅰ）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求平面PAD與PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）連接PC，交DE與N，連接MN，所以MN∥AC，再根據(jù)線面平行的判定定理可得答案．
（II）以D為空間坐標(biāo)系的原點，分別以 DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個平面的法向量，再求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答：證明：（Ⅰ） 連接PC，交DE于N，連接MN，
在△PAC中，M，N分別為兩腰PA，PC的中點
∴MN∥AC…（2分）
因為MN?面MDE，AC?面MDE，
∴AC∥平面MDE…（4分）
解：（Ⅱ） 以D為空間坐標(biāo)系的原點，分別以 DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，

2

a），B（a，a，0），C（0，2a，0），
所以

PB

=（a，a，

2

a），

BC

=（-a，a，0），…（6分）
平面PAD的單位法向量為

m

=（0，1，0）…（7分）
設(shè)面PBC的法向量

n

=（x，y，1），
則有

n • PB =ax+ay- 2 a=0 n • BC =-ax+ay=0

，
解得：x=y=

2

2

則

n

=（

2

2

，

2

2

，1），…（10分）
設(shè)平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為θ，
∴cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

即平面PAD與PBC所成銳二面角的余弦值為

1

2

…（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，求二面角的平面角的關(guān)鍵是找到角，再求出角，解決此類問題也可以建立坐標(biāo)系，利用空間向量求出空間角與空間距離．