Question

已知實數(shù)x，y滿足x²+y²=4，則

2xy

x+y-2

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：由已知得x²+y²+2xy≤2（x²+y²），從而-2

2

≤x+y≤2

2

，進而

2xy

x+y-2

=

x2+y2+2xy-4

x+y-2

=x+y+2≥2-2

2

．

解答： 解：∵實數(shù)x，y滿足x²+y²=4，
（x-y）²≥0，展開得：2xy≤x²+y²，
∴x²+y²+2xy≤2（x²+y²）
（x+y）²≤2（x²+y²）=8
得：-2

2

≤x+y≤2

2

，
∴

2xy

x+y-2

=

x2+y2+2xy-4

x+y-2

=

(x+y)2-4

x+y-2

=

(x+y+2)(x+y-2)

x+y-2

=x+y+2≥2-2

2

，
∴

2xy

x+y-2

的最小值為2-2

2

．
故答案為：2-2

2

．

點評：本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．