【題目】如圖,在三棱柱中,平面平面,四邊形為菱形,點是棱上不同于, 的點,平面與棱交于點, , , .
(Ⅰ)求證: ∥平面;
(Ⅱ)求證: 平面;
(Ⅲ)若二面角為,求的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)先利用面面平行的性質定理得到線線平行,再利用線面平行的判定定理進行求解;(Ⅱ)先利用面面垂直的性質定理和菱形的對角線相互垂直得到線線垂直,再利用線面垂直的判定定理進行證明;(Ⅲ)利用空間向量進行求解.
試題解析:(Ⅰ)因為在三棱柱中,平面平面,
平面平面,
平面平面,
所以 .
又因為平面, 平面,
所以平面.
(Ⅱ)因為,所以,
又因為平面平面,
所以平面.
所以 .
因為四邊形為菱形,所以 .
所以平面.
(Ⅲ)取線段中點,因為菱形中, ,
所以 .
又因為 ,所以 .
又因為平面.
如圖,以為原點,建立空間直角坐標系,
則
所以, , , .
設,( )
,
設平面的法向量為,
則, 即,
令,則, .
所以.
由(Ⅱ)知, 是平面的一個法向量.則
因為二面角為,
.
解得,或(舍).
所以,即的長為.
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【題目】設函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)當時,是否存在整數(shù),使不等式恒成立?若存在,求整數(shù)的值;若不存在,則說明理由;
(3)關于的方程在上恰有兩個相異實根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】學校游園活動有這樣一個游戲:甲箱子里裝有3個白球,2個黑球,乙箱子里裝有1個白球,2個黑球,這些球除了顏色外完全相同,每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎(每次游戲結束后將球放回原箱).
(1)求在1次游戲中:
①摸出3個白球的概率.
②獲獎的概率.
(2)求在3次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列.(用數(shù)字作答)
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【題目】已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(﹣1,1),B(7,﹣1),C(﹣2,5),AB邊上的中線所在直線為l.
(1)求直線l的方程;
(2)若點A關于直線l的對稱點為D,求△BCD的面積.
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【題目】2016年9月,第22屆魯臺經貿洽談會在濰坊魯臺會展中心舉行,在會展期間某展銷商銷售一種商品,根據(jù)市場調查,每件商品售價x(元)與銷量t(萬元)之間的函數(shù)關系如圖所示,又知供貨價格與銷量呈反比,比例系數(shù)為20.(注:每件產品利潤=售價﹣供貨價格)
(1)求售價15元時的銷量及此時的供貨價格;
(2)當銷售價格為多少時總利潤最大,并求出最大利潤.
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【題目】某鋼管生產車間生產一批鋼管,質檢員從中抽出若干根對其直徑(單位:)進行測量,得出這批鋼管的直徑服從正態(tài)分布.
(Ⅰ)如果鋼管的直徑滿足為合格品,求該批鋼管為合格品的概率(精確到0.01);
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的結論,現(xiàn)要從40根該種鋼管中任意挑選3根,求次品數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
(參考數(shù)據(jù):若,則;;)
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【題目】已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為1.
(1)求a的值;
(2)解不等式 ;
(3)求函數(shù)g(x)=|logax﹣1|的單調區(qū)間.
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