Question

命題p：已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上的一個動點，過F₂作∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為M，則OM的長為定值．類比此命題，在雙曲線中也有命題q：已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個焦點，P為雙曲線上的一個動點，過F₂作∠F₁PF₂的______的垂線，垂足為M，則OM的長為定值．

Answer 1

點F₂關(guān)于∠F₁PF₂的外角平分線PM的對稱點Q在F₁P的延長線上
∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上的一個動點，過F₂作∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為M
∴|F₁Q|=|PF₁|+|PF₂|=2a（橢圓長軸長），又OM是△F₂F₁Q的中位線，故|OM|=a；
不妨設(shè)點P在雙曲線右支上，點F₁關(guān)于∠F₁PF₂的內(nèi)角平分線PM的對稱點Q在PF₂的延長線上
當(dāng)過F₂作∠F₁PF₂的內(nèi)角平分線的垂線，垂足為M時，|F₂Q|=|PF₁|-|PF₂|=2a，又OM是△F₂F₁Q的中位線，故|OM|=a；
故答案為：內(nèi)角平分線