Question

（2012•洛陽模擬）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分別為CD、PB的中點，AE=

3

．
（Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面PAB．
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分別為CD、PB的中點，AE=

3

，知AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=

3

，DE=1，所以AE⊥CD．由AB∥CD，知AE⊥AB．由此能夠證明平面AEF⊥平面PAB．
（Ⅱ）法一：由AE⊥平面PAB，AE?平面PAE，知平面PAE⊥平面PAB，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD．由AE⊥CD，PA∩AE=A，知CD⊥平面PAE，由CD?平面PCD，知平面PAE是平面PAB與平面PCD的公垂面，由此能夠求出平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．
（Ⅱ）法二：以A為原點，AB、AE分別為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標系A-xyz，因為PA=AB=2，AE=

3

，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，

3

，0）、C（1，

3

，0），則

PE

=(0，

3

，-2)，

CE

=(-1，0，0)，

AE

=(0，

3

，0)，由AE⊥平面PAB，知平面PAB的一個法向量為

n1

=(0，1，0)，求出平面PCD的一個法向量

n2

=(0，2，

3

)．由此能求出平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=

3

，DE=1，
∴AD²=DE²+AE²，
∴∠AED=90°，即AE⊥CD．
∵AB∥CD，∴AE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE．
∵PA∩AB=A，∴AE⊥平面PAB，
∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE?平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PAB，…（6分）
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
由（Ⅰ）知AE⊥CD，又PA∩AE=A，
∴CD⊥平面PAE，又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAE．
∴平面PAE是平面PAB與平面PCD的公垂面…（8分）
所以，∠APE就是平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角．…（9分）
在RT△PAE中，PE²=AE²+PA²=3+4=7，即PE=

7

．…（10分）
∵PA=2，∴cos∠APE=

2

7

=

2 7

7

．
所以，平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為

2 7

7

．…（12分）
（Ⅱ）解法二：以A為原點，AB、AE分別為x軸、y軸的正方向，
建立空間直角坐標系A-xyz，如圖所示．
因為PA=AB=2，AE=

3

，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，

3

，0）、C（1，

3

，0），
則

PE

=(0，

3

，-2)，

CE

=(-1，0，0)，

AE

=(0，

3

，0)，…（7分）
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAB，
故平面PAB的一個法向量為

n1

=(0，1，0)，…（8分）
設平面PCD的一個法向量為

n2

=(x，y，z)，
則

n2 • PE  =0 n2 • CE =0

，即

3 y-2z=0 -x=0

，令y=2，
則

n2

=(0，2，

3

)．…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞  =

n1 • n2

| n1 |•|  n2 |

=

2

7

=

2 7

7

．
所以，平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為

2 7

7

．…（12分）

點評：本題考查平面AEF⊥平面PAB的證明，求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．